几何实验室GEOMETRY, MADE VISIBLE 三个角锥装满盒子,倒水用来核对。 EXPERIMENT / 02
CONE AND CYLINDER

等高,等底,三分之一。

先看它们怎么转出来,再用三个角锥看为什么是三分之一,倒水核对,最后沿高切开。

同一个底 · 同一个高
三杯圆锥,一杯圆柱
LOOK CLOSER

矩形绕一条边,直角三角形绕一条直角边

r, h 锁定
01

为什么是三
三个角锥 → 一个盒子
倒水 → 核对
底面积和高相同,圆锥和角锥一样大。
换尺寸,仍然是三分之一。

计算说明

方盒子可以拆成三个一样大的角锥,每个是盒子的 1/3。尖挪到正中间以后,每一层仍是同样大的正方形。把正方形换成面积相同的圆,高不变,这一层的面积还是按同一个比缩小,所以圆锥等于一个角锥。圆柱体积是 πr²h,圆锥体积是 ⅓πr²h。倒水只作核对:每一满杯使圆柱水位上升 h/3,第一杯在一半高度下面,第三杯齐口。沿高分成 N 层时,第 i 层中点距顶点的比例是 u = (i − ½) / N,面积比是 u²,各层平均为 (4N² − 1) / (12N²),N 越大越接近 1/3。容器壁只用于显示。