新定义 / 压轴变式题 · 带详解

对照试卷中出现的 5 类压轴原型，各出 1 道同型变式 + 完整解析与方法提炼

变式 1 · 平行线 + 三角板旋转（分类讨论）

动态旋转中“某条边平行”求所有 t

原型：试卷「三角板 EFG / PMN 绕点旋转，求边与直线平行时的 t」

题目：已知直线 PQ 水平。含 30° 的直角三角板 PMN 中 ∠MPN=90°，∠PMN=60°，∠PNM=30°。开始时直角边 PM 与 PQ 平行（水平）。现将三角板绕点 P 以每秒 15° 顺时针旋转，旋转角 θ = 15t 度（0 < t < 24，即 0°<θ<360°）。问 t 为何值时，三角板的某一条边与 PQ 平行？

核心思想：一条直线与水平线 PQ 平行 ⟺ 它的“方向角”是 0° 或 180°（即 ≡0° mod 180°）。把三条边的初始方向角写出来，旋转后各减去 θ，令其 ≡0 mod180 即可。

三条边的初始方向角（以水平为 0°）：
· PM：水平 → 0°；
· PN：与 PM 垂直（∠MPN=90°）→ 90°；
· MN（斜边）：在 M 处与 MP 成 60° → 方向角 120°。

顺时针旋转 θ 后方向角 = 初始 − θ，令 ≡ 0 (mod 180°)：
· PM：0 − θ ≡ 0 → θ = 180° → t = 12；
· PN：90 − θ ≡ 0 → θ = 90° 或 270° → t = 6 或 18；
· MN：120 − θ ≡ 0 → θ = 120° 或 300° → t = 8 或 20。

结论：t = 6、8、12、18、20（共 5 个值）。

方法提炼：旋转型“求平行”的万能套路——①写三边初始方向角；②方向角随旋转线性变化；③“平行水平线” ⇔ 方向角 mod 180 = 0；④逐边解、并检验是否落在 t 的范围内。

变式 2 · 坐标新定义「外方距」

用横纵跨度求最小正方形边长

原型：IMG_6110「外方距 = 能框住三点、边平行坐标轴的最小正方形边长」

定义回顾：对平面内三点，能把它们都框在内部或边上、且边与坐标轴平行的最小正方形的边长，叫这三点的“外方距”。
题目：已知 A(1, 1)、B(4, 2)、C(2, 5)。
(1) 求 A、B、C 的外方距；
(2) 点 P(m, 3)，若 A、B、P 的外方距为 3，直接写出 m 需满足的条件。

关键翻译：外方距 = max(横向跨度 Δx, 纵向跨度 Δy)，其中 Δx = x最大 − x最小，Δy = y最大 − y最小。

(1) x 取值 1,4,2 → Δx = 4−1 = 3；y 取值 1,2,5 → Δy = 5−1 = 4。
外方距 = max(3, 4) = 4。

(2) A(1,1)、B(4,2)、P(m,3)：y 取值 1,2,3 → Δy = 3−1 = 2（固定）。
要外方距 = 3 = max(Δx, 2)，必须 Δx = 3。
x 取值为 1、4、m：当 m 落在 1 与 4 之间时，Δx = 4−1 = 3 恰好成立；
若 m < 1 则 Δx = 4−m > 3，若 m > 4 则 Δx = m−1 > 3，都不行。
∴ 1 ≤ m ≤ 4。

方法提炼：新定义题先把定义“翻译成公式”（这里 = max(Δx,Δy)）；含参时固定能算的那一维，对另一维分“参数在区间内 / 左外 / 右外”讨论。

变式 3 · 数轴新定义「相关 k 平移线段」

线段端点同乘 k 后是否有公共点

原型：IMG_6134「k 平移线段 / 相关 k 平移线段」

定义回顾：数轴上 A 对应 a、B 对应 b。把端点对应数都乘以 k（k≠0）得到 A′(对应 ka)、B′(对应 kb)，称线段 A′B′ 为 AB 的“k 平移线段”；若 A′B′ 与 AB 有公共点（含端点），则称 A′B′ 为 AB 的“相关 k 平移线段”。
题目：数轴上 A 对应 2，B 对应 6（即线段 AB 覆盖 [2, 6]）。
(1) 取 k = 2，写出 A′、B′ 对应的数，并判断是否“相关”；
(2) 取 k = −1，判断是否“相关”；
(3) 求所有使 A′B′ 是 AB 的“相关 k 平移线段”的 k 的取值范围。

(1) A′ = 2×2 = 4，B′ = 2×6 = 12，A′B′ 覆盖 [4, 12]。与 [2, 6] 的公共部分为 [4, 6]（非空）→ 是相关。

(2) k = −1：A′ = −2，B′ = −6，A′B′ 覆盖 [−6, −2]，与 [2, 6] 无公共点 → 不是相关。

(3) 分 k 的符号讨论：
· 当 k > 0：A′B′ 覆盖 [2k, 6k]。与 [2,6] 有公共点 ⟺ 2k ≤ 6 且 6k ≥ 2 ⟺ k ≤ 3 且 k ≥ 13 → 13 ≤ k ≤ 3；
· 当 k < 0：A′B′ 覆盖 [6k, 2k]，整段都在 0 左边（≤ 2k < 0），与 [2,6] 无公共点。
∴ 13 ≤ k ≤ 3。

方法提炼：把“线段”转成“区间”，“有公共点”转成“两区间相交”的不等式（左端 ≤ 对方右端且右端 ≥ 对方左端）；含 k 一定要按正负分类，因为乘负数会让端点左右调换。

变式 4 · 坐标新定义「H 变换」

按规则做坐标变换并反求

原型：IMG_6130「H 变换 / 关联点」

定义回顾：把点 P(x, y) 变换为 P′( x+y2 , x−y2 )，记作 H(x, y) = (x′, y′)。
题目：(1) 求 H(4, 2)；(2) 若点 P 经 H 变换后得到 P′(5, 1)，求 P 的坐标；(3) 若 P(x, y) 经 H 变换后 P′ 恰落在直线 y = x 上，求 x、y 满足的关系。

(1) H(4,2) = ( (4+2)/2 , (4−2)/2 ) = (3, 1)。

(2) 由定义列方程组：{ (x+y)/2 = 5 ; (x−y)/2 = 1 } → x+y = 10，x−y = 2 → x = 6，y = 4，即 P(6, 4)。

(3) P′ 在 y = x 上 ⟺ 纵坐标 = 横坐标：x−y2 = x+y2 → x−y = x+y → −y = y → y = 0。即 P 在 x 轴上（x 任意）。

方法提炼：新定义“变换”题就是把规则当公式用——正向代入算 (1)；反向列方程组求 (2)；满足某条件就把条件翻译成等式求 (3)。

变式 5 · 无理数估算（几何面积法 + 牛顿迭代）

用面积法逼近 + 迭代求过剩/不足近似

原型：IMG_6128 / IMG_6133「√86、√149、√13 的近似值探究」

题目：(1) 参考“几何面积法”，估计 √155 的近似值（结果精确到 0.01，要求写出过程）；
(2) 用牛顿迭代法 aₙ₊₁ = 12(aₙ + 2aₙ) 求 √2 的两个“过剩近似值”和一个“不足近似值”。

(1) 几何面积法：
∵ 12² = 144 < 155 < 169 = 13²，∴ 12 < √155 < 13，设 √155 = 12 + x（0 < x < 1）。
画边长 (12+x) 的大正方形，面积 = 12² + 2×12×x + x² = 144 + 24x + x²。
又面积 = 155，∴ 144 + 24x + x² = 155。
当 x² < 1 可忽略：144 + 24x ≈ 155 → 24x ≈ 11 → x ≈ 0.46。
∴ √155 ≈ 12.46。

(2) 牛顿迭代（取 a₁ = 1）：
a₂ = ½(1 + 2/1) = 1.5；2/a₂ = 1.333…
a₃ = ½(1.5 + 1.333…) ≈ 1.4167；2/a₃ ≈ 1.4118
由于每个 aₙ 与 2/aₙ 一大一小，真值 √2 ≈ 1.4142 夹在中间：
· 过剩近似值（偏大）：1.5、1.4167；
· 不足近似值（偏小）：1.333…（即 4/3）。

方法提炼：面积法三步——①夹逼定整数部分；②设 √m=a+x 用完全平方展开；③舍去 x² 解一次方程。牛顿迭代记住 aₙ 与 m/aₙ 必“一大一小”，真值在两者之间。